add: random algorithm

README.md

@@ -222,6 +222,27 @@ $$
 
 </div>
 
+1. 位置生成
+而发射位置要求在球面上均匀分布。由于球面的面积元$\mathrm{d}\Omega=\sin\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta$是$\theta$的函数，如果位置向量$\vec{r}(\rho, \phi, \theta)$的$\phi$和$\theta$是在$\phi\in[0, 2\pi)$和$\theta\in[0, \pi]$上均匀分布，选取的点将会在两极较为密集（即），因此可以采用`ITM`方法生成$\theta$：$C^{-1}(z)=\cos^{-1}(z)$。
+    ```c
+    double u = rand();
+    double v = rand();
+    double phi = 2 * pi * u;
+    double theta = arccos(2 * v - 1);
+    double x = rho * sin(theta) * cos(phi);
+    double y = rho * sin(theta) * sin(phi);
+    double z = rho * cos(theta);
+    ```
+
+2. 发射方向
+在`Geant4`中，假定粒子的位置矢量为$\vec{r}$，则以$\vec{r}$反方向作为$z$轴正方向建立右手坐标系，粒子的指向为:
+$$
+P_x = -\sin\theta\cos\phi \\
+P_y = -\sin\theta\sin\phi \\
+P_z = -\cos\theta
+$$
+为了保证发射方向是朝向球面内，因此需要限制$\theta$的最大角度为$90^{\circ}$。
+
 ## 空间站建模
 1. 尺寸与分区[^6]  
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