add: ITM and ARM

README.md

@@ -185,8 +185,7 @@ $$
 
 </div>
 
-### GCR
-1. 电子
+### 电子
 由于该模型较为简单，使用`Geant4`的`General Particle Source`（`GPS`）可以较为方便地生成源，
 ```macro
 /gps/source/clear
@@ -204,13 +203,24 @@ $$
 /run/beamOn 923242
 ```
 
-2. 质子
-由于模型额外添加了平移项，`GPS`较为复杂，因此和俘获辐射一致，使用`G4ParticleGun`生成。
+### 质子与俘获辐射
+由于模型较为复杂，且需要发射的粒子种类繁多，因此该部分的粒子使用`G4ParticleGun`生成，关键是生成各向同性（在球面上均匀分布）的位置、方向和符合能谱的能量分布。
 
-### 俘获辐射
-由于模型较为复杂，且需要发射的粒子种类繁多，因此该部分的粒子使用`G4`自行生成。
+1. `Inverse Transform Method`（`ITM`）
+对于一个在$[a, b]$的分布，设其概率密度函数(PDF)为$F(x)$，对其积分可获得累积分布函数(CDF)，记为$y=C(x)=\int_a^x F(u)\mathrm{d}u$，其反函数为$C^{-1}(y)$。设$y$为$[0, 1)$上均匀分布的随机数，则$x=C^{-1}(y)$满足$F(x)$的分布。
 
-假定`Co`的计数率为1，设定其他粒子的计数率，模拟`7070130`个入射事件，因此最终的剂量需要乘以$2.09\ \mathrm{s^{-1}}\times30\ \mathrm{d}\times86400\ \mathrm{s/d}$倍。
+2. `Acceptance-Rejection Method`（`ARM`）
+对于一个在$[a, b]$的分布，设其概率密度函数(PDF)为$F(x)$，首先生成一个均匀分布随机数$X \sim U(x_{min}, x_{max})$，随后独立生成另一个均匀分布随机数$Y \sim U(y_{min}, y_{max})$，如果$Y \le F(X)$，则保留$X$，保留下来的$X$满足$F(x)$的分布。
+
+`ITM`也被称为反演法，关键是需要获取累积分布函数的逆函数，效率较高；`ARM`本质上是一种模拟算法，效率较低，但是适应性更广，特别是对于一些复杂分布函数。`GCR`质子和俘获辐射粒子的模型有三类，其中`GCR`质子的函数较为简单，其余两类较为复杂，因此分别采用`ITM`和`ARM`。
+
+<div align=center>
+
+|           $F(E)$           |           $\int F(E)\mathrm{d}E$           |                        $C(x)=\int_a^xF(u)\mathrm{d}u$                        |                                             $C^{-1}(y)$                                             |
+|:--------------------------:|:------------------------------------------:|:----------------------------------------------------------------------------:|:---------------------------------------------------------------------------------------------------:|
+| $j=j_0(E-\beta)^{-\alpha}$ | $\frac{j_0(E-\beta)^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ | $\frac{j_0}{1-\alpha}\left((x-\beta)^{1-\alpha}-(a-\beta)^{1-\alpha}\right)$ | $\sqrt[1-\alpha]{\frac{(y+C)(1-\alpha)}{j_0}}+\beta,\   C=\frac{j_0(a-\beta)^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ |
+
+</div>
 
 ## 空间站建模
 1. 尺寸与分区[^6]