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README.md

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 ### 质子与俘获辐射
 由于模型较为复杂，且需要发射的粒子种类繁多，因此该部分的粒子使用`G4ParticleGun`生成，关键是生成各向同性（在球面上均匀分布）的位置、方向和符合能谱的能量分布。
 
-1. `Inverse Transform Method`（`ITM`）
+1. `Inverse Transform Method`（`ITM`）  
 对于一个在$[a, b]$的分布，设其概率密度函数(PDF)为$F(x)$，对其积分可获得累积分布函数(CDF)，记为$y=C(x)=\int_a^x F(u)\mathrm{d}u$，其反函数为$C^{-1}(y)$。设$y$为$[0, 1)$上均匀分布的随机数，则$x=C^{-1}(y)$满足$F(x)$的分布。
 
-2. `Acceptance-Rejection Method`（`ARM`）
+2. `Acceptance-Rejection Method`（`ARM`）  
 对于一个在$[a, b]$的分布，设其概率密度函数(PDF)为$F(x)$，首先生成一个均匀分布随机数$X \sim U(x_{min}, x_{max})$，随后独立生成另一个均匀分布随机数$Y \sim U(y_{min}, y_{max})$，如果$Y \le F(X)$，则保留$X$，保留下来的$X$满足$F(x)$的分布。
 
 `ITM`也被称为反演法，关键是需要获取累积分布函数的逆函数，效率较高；`ARM`本质上是一种模拟算法，效率较低，但是适应性更广，特别是对于一些复杂分布函数。`GCR`质子和俘获辐射粒子的模型有三类，其中`GCR`质子的函数较为简单，其余两类较为复杂，因此分别采用`ITM`和`ARM`。
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 </div>
 
+1. 位置生成
+而发射位置要求在球面上均匀分布。由于球面的面积元$\mathrm{d}\Omega=\sin\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta$是$\theta$的函数，如果位置向量$\vec{r}(\rho, \phi, \theta)$的$\phi$和$\theta$是在$\phi\in[0, 2\pi)$和$\theta\in[0, \pi]$上均匀分布，选取的点将会在两极较为密集（即），因此可以采用`ITM`方法生成$\theta$：$C^{-1}(z)=\cos^{-1}(z)$。
+    ```c
+    double u = rand();
+    double v = rand();
+    double phi = 2 * pi * u;
+    double theta = arccos(2 * v - 1);
+    double x = rho * sin(theta) * cos(phi);
+    double y = rho * sin(theta) * sin(phi);
+    double z = rho * cos(theta);
+    ```
+
+2. 发射方向
+在`Geant4`中，假定粒子的位置矢量为$\vec{r}$，则以$\vec{r}$反方向作为$z$轴正方向建立右手坐标系，粒子的指向为:
+$$
+P_x = -\sin\theta\cos\phi \\
+P_y = -\sin\theta\sin\phi \\
+P_z = -\cos\theta
+$$
+为了保证发射方向是朝向球面内，因此需要限制$\theta$的最大角度为$90^{\circ}$。
+
 ## 空间站建模
 1. 尺寸与分区[^6]  
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